«Todo número iluminado tiene su sombra dorada»
- Nabil Alami

El número áureo, también llamado razón dorada, proporción áurea o también llamada divina, es una coyuntura definida como el valor numérico de la relación que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b). La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b: (a + b)/a = a/b.

También es designado por la letra griega φ (es la letra griega phi, no un toro). Es un número irracional, única solución de la ecuación x2 = x + 1. Asi, su valor es alrededor de 1,6180339887.

Una infinidad de alumnos toman clases particulares. Aunque se suele considerar una asignatura difícil, la Matemática puede ser divertida y contener misterios fascinantes. Vamos a hablar de uno de ellos: el número áureo.

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La historia del número Dorado

Piramedes de la ciudad de Giza en Egipto.
La construcción de las pirámides implica el uso de la razón dorada.

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El único y verdadero propósito de la educación es Potenciar las capacidades individuales y colectivas del ser humano.

Los orígenes del Número Dorado

La pirámide de Keops (2600 a.C.) es para muchos científicos el origen de la proporción áurea.

El número áureo es muy antiguo y se usó inicialmente en geometría, probablemente por los pitagóricos. Lo usaron para construir pentágonos usando triángulos isósceles. En ese momento, no se usa de manera aritmética ya que los pitagóricos piensan que cualquier número es racional, pero el número dorado no lo es.

Pero en realidad el primer texto matemático que hace referencia al número en cuestión, fue escrito por Euclides (300 a.C.), que lo define de la siguiente asi:

«Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor».

Sin embargo, Platón está sin duda en el origen del estudio de la relación áurea como objeto de estudio por derecho propio. En ese momento, este número no se llama número Dorado.

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Asi, el primer traductor latino y comentador de Euclides fue Johannes Campanus, de Novara, nacido a finales del siglo XIII.

El Número Dorado en la Edad Media

El matemático Al-Khawarizmi (seguro recuerdas a Al-Jurasmi por ser el modelo de la portada del texto de estudio "Algebra de Aurelio Baldor") aporta una nueva perspectiva a la proporción dorada en el siglo VIII al proponer varios problemas que consisten en dividir una longitud de diez unidades en dos partes. La solución de uno de ellos es el tamaño inicial dividido por el número Dorado.

Pero es Fibonacci quien habla de las ecuaciones del matemático persa en Europa, especialmente a través de su famosa sucesión de Fibonacci, sin mostrar un vínculo con la relacion áurea.

El número Dorado durante el Renacimiento

En el Renacimiento, al número dorado se le llama divina proporción y se le atribuye una intervención divina segun el libro de Pacioli, ilustrado por el famoso Leonardo da Vinci.

Fue también en esta época cuando la secuencia de Fibonacci se relaciona con el número áureo. Al dividir un término de la misma por su término anterior, el resultado se acerca al número dorado. La aproximación es mayor cuando el término es alto.

Esta relación se descubrió mediante una nota anónima, y el resultado lo encuentra realmente Johannes Kepler, quien quedará fascinado por el número dorado durante toda su vida.

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El nacimiento de un mito en el siglo XIX

Durante este siglo, el número pierde su interés matemático, pero gana cada vez mas interés como sistema.

El filósofo alemán Adolf Zeising cree que esta puede permitir comprender tanto el ámbito científico como el artístico. A pesar de un dudoso enfoque científico, las teorías de Zeising gustan, sobre todo en Francia. Gracias al número dorado, sería posible explicar la belleza.

Incluso a lo largo del siglo XX, este número sigue fascinando a matemáticos, artistas y arquitectos.

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Función Sqrt.
Calcula la raíz cuadrada de un número. número: cualquier número positivo, expresión numérica o campo que contenga una expresión numérica.

El número áureo en geometría

El número áureo en geometría, Representación gráfica de dos círculos de diferentes proporciones y su relación con el número áureo.
Podemos dibujar una relacion geometrica de extrema y media razón.

La primera definición es geométrica. El teorema es el siguiente: «Dos longitudes a y b (estrictamente positivas) respetan la proporción áurea si la relación de a sobre b es igual a la relación de a + b sobre a».

A la luz de los trabajos de Euclides, surge una nueva definición:

«El número áureo es el número real positivo, denotado por φ, igual a la fracción a/b si a y b son dos números en relción de extrema y media razón».

Esta es la fórmula correspondiente: φ = (1 + √5) / 2.

φ es la solución de una ecuación de segundo grado, que da una tercera definición:

«El número áureo es la única solución de la ecuación x2 - x - 1 = 0».

Gracias a estos cálculos, es posible dibujar una relación de extrema y media razón usando un compás, una regla y una escuadra:

  • Dibuja un círculo C de radio 1,
  • Al final del radio 1, dibuja un segmento de longitud 1/2, perpendicular al radio,
  • Dibuja el círculo C’ de radio 1/2 colocando la punta del compás al final del segmento de longitud 1/2 previamente dibujado,
  • Dibuja el segmento desde el centro del círculo C hasta el final del círculo C’, pasando por el centro del círculo C’,
  • La longitud de este segmento tiene el valor del número dorado.

A partir de estos círculos, puedes construir un rectángulo áureo.

También podemos integrar un cuadrado de lado a - b en el rectángulo dorado de lados b × (a - b). Al añadir un cuarto de círculo en cada cuadrado, obtenemos una espiral, llamada espiral áurea.

La misma relación, también se puede utilizar para la construcción de pentágonos y pentagramas y también en trigonometría.

Echa un ojo tambien a nuestro artículo sobre el número i.

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El número Dorado en Aritmética

Hombre con camiseta roja deportiva celebrando mientras escucha música por sus auriculares.
Cuando logras demostrar el vínculo entre la secuencia de Fibonacci y el número áureo.

El otro método para definir el número dorado es algebraico. En álgebra, el "Golden Number" se define como la única raíz positiva de una ecuación.

Usando ambos enfoques, algebraico y geométrico, es posible resolver una ecuación de segundo grado. Esto se llama álgebra geométrica. φ 2 = 1 + φ tiene por solución el número Dorado.

La proporción áurea también se puede alcanzar usando la fracción continua en el infinito: 1 + (1/(1 + (1/1))).

La sucesión de Fibonacci también proporciona aproximaciones muy interesantes:

Fórmula de sucesión fibonacci

Y a la inversa, la fórmula de Binet expresa la sucesión de Fibonacci en función de la proporción áurea.

El número dorado también se utiliza en algunas ecuaciones diofánticas.

Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre el número Pi?

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La omnipresencia del Número Áureo

Como puedes ver, el número dorado está omnipresente en el mundo de los números, pero tambien a nuestro alrededor. En la naturaleza, "the golden proportion" está presente a través de varios elementos:

  • Las escamas de una piña de pino generan espirales logarítmicas que pueden producir la sucesión de áurea.
  • Los estambres de un girasol responden al mismo fenómeno.
  • Los cristales de cuarzo se forman en un patrón pentagonal, en el que interviene "the Golden Number".
  • La corteza de una piña induce una espiral ordenada asociada con la Phi.

Pero la filotaxis del girasol y la cristalografía de cuarzo no siempre siguen las reglas de la proporción áurea, por lo que es difícil ver un fenómeno místico o divino. Tal vez sea solo una coincidencia...

Fotografía de un niño sonriente con gorro y sobre la imagen un gráfico de la omnipresencia del número áureo demostrando como se establece en la proporción de la imágen.
Tambien en fotografía, el numero dorado permitiría tomar una imagen perfecta.

La cuestión de si el cuerpo humano está vinculado o no a la proporción áurea se ha planteado repetidamente, ya sea de naturaleza científica, artística o estética.

Zeising intentó medir el cuerpo humano utilizando solo el número áureo, pero lo descartó rápidamente. Las proporciones del cuerpo humano asi dibujadas no eran realistas. Además, las dimensiones del cuerpo humano cambian constantemente. Los seres humanos crecen a medida que evolucionan y no necesariamente de manera uniforme.

Sin embargo, la búsqueda de la misteriosa relación simetrica en el cuerpo humano no se ha abandonado. Hoy en día, los científicos se centran en el cerebro para descubrir un vínculo con la proporción áurea, pero esta teoría sigue siendo controvertida.

La proporción divina no sólo fascina a los científicos, sino que está presente en muchos ámbitos como la pintura, especialmente la del Renacimiento. Lo encontramos en el cuadro de El nacimiento de Venus de Botticelli.

Pero a veces, son interpretaciones tardías y no hay voluntad por parte del artista como lo sugiere el cuadro de San Jerónimo de Leonardo da Vinci en el que encontramos el rectángulo áureo.

El uso de la proporción áurea en muchos edificios antiguos es un tema de controversia. Es difícil saber si los constructores eran conscientes del uso de la proporción áurea o si es una sobreinterpretación de los arqueólogos.

Hay varios ejemplos:

  • El teatro  de Epidauro.
  • La gran pirámide de Giza.
  • La fachada del Partenón segun las convenciones.
  • Una antigua torre en Modon.
  • El gran altar de Pérgamo.
  • Una lápida funeraria de Edesa.
  • Una tumba en Pella.

Así mismo los techos de muchas Bodegas. Consulta nuestra oferta de curso de matematicas desde cero.

Por otro lado, más recientemente, el arquitecto Le Corbusier teoriza el uso de la proporción áurea y crea un sistema llamado Modulor que utiliza en muchas de sus construcciones como la Ciudad radiante de Marsella o la Capilla de Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp.

La arquitectura hace uso de mas elementos que solo el rectangulo, el pentagono y el triangulo; la creatividad no tiene límite y la sucesión de Fibonacci tampoco.

Algunos viñedos (Donde se siembran uvas para fabricar Vinos) han elaborado la construcción de sus campos y bodegas bajo esta divina consigna, ¿la razón?, aprovechar mejor la movilidad y sus espacios además de transmitir un sentido estético de alta belleza que supera el estilo de distribución en rectángulo, de pentagono o filas. Nadie lo ha hecho en forma de Triangulo hasta la fecha, pero tampoco sería mala idea, la belleza de la geometría puede ser usada en el campo y la ciudad.

Componiendo Usando el número PHI

También en la música, The Golden Number se encuentra en la armonía y el ritmo. La aproximación mas cercana al numero áureo es la sexta menor obtenida por dos sonidos cuya frecuencia define una relacion de 8/5 = 1,6.

Y podríamos continuar la lista, ya que la presencia de the Golden Number fascina enormemente y es el tema de teorías más o menos científicas y verificadas.

¿Conocías la proporción áurea? Descubre también la historia de los números primos.

¿Cúal es tu numero favorito?, ¿Phi, Pi, e, i?

Se ha oído que la secuencia de áurea está presente en la Quinta Sinfonía de Beethoven, las obras de Schubert, Debussý y Bartok e instrumentos como el piano, la guitarra y la armónica, aprovechan la secuencia de áurea dentro de la escala cromática para permitir al músico componer usando solo las notas que obedecen a dicha secuencia.

La controversial banda de metal progresivo TOOL creada en 1990 en Los Ángeles, CA, US realizó la composición lirica y musical del tema Lateralus haciendo uso de esta secuencia, un ejemplo es su letra.

Black (1 sílaba)
then (1 sílaba)
white are (2 sílaba)
all I see (3 sílaba)
in my infancy. (5 sílaba)
Red and yellow then came to be, (8 sílaba)
reaching out to me, (5 sílaba)
lets me see. (3 sílaba)

La música de W.A. Mozart es en si misma un ejemplo de música equilibrada y elegante sin hacer uso de recursos numéricos en la matemática, no obstante, el matemático John F. Putz ha descubierto algo asombroso de la sonata nº1 en Do mayor K.279, en donde la sección áurea está presente en la exquisita pieza musical que consta de consta de 100 compases en el primer movimiento y se divide en dos secciones; la primera sección (la que corresponde a la exposición) dura exactamente 38 compases y la segunda sección (desarrollo y reexposición) dura 62.

La Matemática al alcance de todos

Muchos estudiante estan estancados en el proceso de dominar la ciencia matemática, y como es una extensa espiral donde cada número es tan importante como el anterior o su predecesor, suele ser tanto intrigante como también intrincada. ¿Cómo podemos aprender cada composición y cada regla?

Esta Ciencia está presente en todo a nuestro alrededor y por ello es imprescindible e in-ignorable, pues no se puede pasar por alto lo elemental de esta ciencia en nuestro días y como el dominio traerá mas oportunidades y avances tecnológicos como sociedad y como individuos.

Es tan necesaria que no podemos vivir sin ella, cada algoritmo que codifica y decodifica la navegación en la www - internet, un mensaje de WhatsApp o ese video de Tik Tok. En la arquitectura, el diseño y la fabricación de vinos y hasta en como construir una bodega tambien esta presente.

La misma ciencia detrás de los lanzamientos espaciales existe en los resonadores magnéticos y otros procedimientos que salvan vidas y nos ayudan a comunicarnos, poder ver Netflix e incluso usar nuestro SmartPhone. Incluso la fotografía requiere de complejos códigos para lograr comprimir grandes cantidades de información en los formatos mas populares.

Al parecer, no hay un solo aspecto de nuestras vidas civilizadas que no incluya números por todo lado, en especial en la economía, por ello es preciso contar con un profesor particular a domicilio que nos permita avanzar en nuestros conocimientos.

Cuando encuentras la belleza detrás de cualquier fórmula, figura (cuadrado, traingulo, pentagono), en una obra de Leonardo Da Vinci, una Fotografía bien compuesta, en la Geometría de Euclides y la geometría no Euclidiana, en la arquitectura, en fin, en la composición misma de perfectas proporciones, entonces ya estás amando la perfección de la única ciencia Exacta.

Esta divina resolución, de tanta belleza, que intriga las mentes más brillantes se ha usado falsamente como apoyo para estafadores y fanáticos de teorías conspirativas escondidos en bodegas sin conocimientos científicos confundiendo las masas como un si un toro de crianza hubiese elaborado un tinto con tinta en lo alto de los viñedos de Pacioli en La Vega.

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Gabriel

Psicologo y docente de inglés con experiencia en procesos de aprendizaje y la enseñanza. Superprof ocacional, Blogger, amante del arte, la poesía, la literatura, buena música y la fotografía. Partidario de la fraternidad internacional y la construcción del ser humano día tras día. Bogotano de nacimiento, ciudadano del mundo y explorador por naturaleza. Me encanta observar las estrellas y caminar por bosques y montañas.