Aprender la ciencia de los matemáticos (geometría, trigonometría, aritmética, lógica, probabilidad y logaritmos, función exponencial y límites de función, etc.) suele ser una pesadilla para algunos alumnos.

Pero si eres uno de los matemáticos apasionados o quieres saber sobre este concepto numérico, aquí tienes una reflexión sobre el misterioso "e" en Mates, que suele ser una noción un poco abstracta para algunos alumnos...

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«No te preocupes si tienes dificultades en matemáticas,
¡puedo asegurarte que las mías son mucho mayores!»
- Albert Einstein (1879-1955)

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El número e: un imperdible capítulo del álgebra

Antes que nada, debes saber que el enigmático "e" forma parte del todo libro de mates. Pero, ¿qué es el álgebra? Nada tiene que ver con un alebrije.

Según define Wikipedia:

«Es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que las igualdades algebraicas en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética».

Las igualdades algebraicas son, por tanto, una rama como cualquier otra de las mates, como bien lo son la geometría, la trigonometría, la aritmética, la lógica, etc.

Como en todo campo de estudio, existen a su vez varias categorías entre las que encontramos el álgebra no conmutativa, computacional, la estructura algebraica, la geometría algebraica, etc.

Por lo tanto, la cantidad de capítulos matemáticos que hay que estudiar es bastante grande y, por supuesto, los alumnos no se aprenden todo el conocimiento en solo unos pocos años. Sin embargo, el complejo "e" forma parte del aprendizaje de los estudiantes ya que es la base de varias funciones amadas por los matemáticos. Por tanto, es importante comprender esta parte del famoso libro del Cubano Aurelio Baldor.

El enigmático "e", por tanto, te da la oportunidad de comprender los términos de cifras racionales e irracionales. De hecho, cada cifra tiene un nombre particular según sus características. Pueden ser:

  • Enteros
  • Decimales
  • Reales
  • Complejos.

Conociendo el maravilloso "e" adicional tendrás la oportunidad de comprender cómo funcionan las fracciones y cómo usarlas.

Vamos a ver concretamente de qué trata todo esto.

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¿Por qué es útil comprender cómo funciona el maravilloso "e"?

¿Qué es el "número e" en la ciencia de los Matemáticos?

Ante todo, "e" es irracional, es decir, que no o puede expresarse como el cociente exacto de dos enteros, cuya cantidad de diezmales que contiene es infinito y, por tanto, estos decimales se siguen sin una secuencia lógica.

Por lo tanto, se opone a los llamados racionales cuyo desarrollo es periódico, un cociente de dos enteros cuya escritura numérica puede ser infinita, pero que en este caso es periódica.

Te lo explicamos:

La proporción 2/7 = 0,285714285714285714...

Los dígitos que hay luego de la coma son una secuencia lógica y recurrente de fracciones diezmales.

Los irracionales mayormente comunes son:

  • El número π = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582..., adicional que este es objeto de investigación de eruditos desde la antigüedad;
  • El número e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957... En la actualidad, cuenta con poco más de 5 mil millones de dígitos seguido de la coma (encontrados el 29 de agosto de 2016 por Ron Watkins).

El complejo 'e' hizo su aparición en el siglo XVII con el desarrollo de los logaritmos, gracias al trabajo de investigación del escocés John Napier (1550-1617), uno de los matemáticos más representativos en la rama y en su país. En su libro de referencia que data de 1614, el queridisimo escocés presentó entonces una herramienta para simplificar los cálculos matemáticos: el logaritmo = Log.

En el siglo XVII, no existían las calculadoras ni los ordenadores, pero eso no significa que no hubiera investigaciones por parte de los matemáticos en su rama. En el siglo III a.C., Arquímedes ya se dio cuenta de que bastaba con sumar ciertos dígitos para poder multiplicar, gracias a las potencias (el exponente).

El método de John N. fue ampliar el trabajo de Arquímedes desarrollando un método para hacer sumas en lugar de multiplicaciones, restas en lugar de divisiones y divisiones por 2 en lugar de extracciones de raíces cuadradas. Así, nacieron las primeras tablas de logaritmos con 8 dígitos.

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Por ejemplo, si 10 3 = 10 x 10 x 10 = 1000; entonces log(1000) = 3 y si 10x = y, entonces log(y) = x.

El enigmático 'e' permite saber para qué valor el log. neperiano es igual a 1.

si ln (x) = y, entonces x = exp(y) y exp (1) = e.

¿Te interesa conocer adicional el número 0?

Formulas matemáticas sobre pizarrón negro
El número e: ¡una noción difícil de las Matemáticas!

La historia de "e" y sus Matemáticos

A finales del siglo XVII, el maravilloso "e" se definió como la base del log. neperiano, que luego caracterizamos por la relación ln(e) = 1, la imagen de 1 por sus equivalentes exponenciales.

El multifacético y poli-oficios Jacques Bernoulli (1654-1705) se interesó por encontrar el valor máximo de los intereses de los préstamos utilizando la técnica de interés compuesto IC: añadiendo con la mayor frecuencia posible, el acumulado a la cantidad original depositada, uno maximiza su ganancia.

Con 10$ prestado a una tasa del 100 %, si el interés del capital se calcula anualmente, la deuda es de 20$ al final del ciclo anual. Pero, si calculamos mensualmente, obtenemos 26,1$ al final del año, y 27,16$ si se calcula diariamente.

Entonces, y gracias a su talento, perspicacia e imaginación se dio cuenta de que el IC se estanca a medida que uno aumenta la frecuencia de cálculo. Así, calculado cada segundo es el mismo que el diario (2,71$). Con esta demostración, J. B. descubrió el enunciado "e".

Fue el genio de los números y suizo, Leonhard Euler (1707-1783) quien, un poco tarde, se interesó por el número e, tomando su nombre de la letra inicial de la palabra «exponencial».

Euler demostró en 1737 la irracionalidad del intrigante "e" sobre la base del desarrollo continuo de fracciones y determinó el desarrollo de e en serie mediante la factorización, sabiendo que 4! = 1 x 2 x 3 x 4 -, como: e = 1 + 1/1! + 1/2! +... + 1 / k!

En cuanto aumentas el valor de k, se acerca el valor obtenido a e.

Echa un ojo a nuestro artículo sobre el número i.

7 pilas de monedas organizadas de forma gradual y ascendente.
¿Cómo calcular el IC interés compuesto?
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¿Cuáles son los campos de uso actuales del eterno "e"?

El primer uso del misterioso e, si bien no había sido realmente teorizado, fue el de la búsqueda de la ganancia máxima al aumentar la frecuencia de cálculo de las tasas de intereses de un préstamo: el método de IC en progresión continua, por J. Bernoulli.

Desde la obra de L. Eulerla cantidad de decimales conocidos ha aumentado constantemente, de forma acelerada. Aumentó de 18 cifras conocidos en 1748 a 2010 para 1949, luego a 116 000 en 1978, a 10 millones en 1994, a 1,25 mil millones en 1999, hasta alcanzar los 5 mil millones de decimales en 2016.

¿Por qué? ¿Gracias a qué? Evidentemente es el poder de la informática lo que permite estos registros, que un cerebro humano no puede igualar.

Vale, genial, pero ¿para qué sirve?

Uno tiene a menudo la impresión, al estudiar para los exámenes, que muchos ejercicios de Mates son inútiles o al menos no los utilizará en la vida cotidiana: conocer la raíz cuadrada de cada número, las ecuaciones diferenciales, la factorización y la derivación, la función exp., el logaritmo, los complejos, etc.

Pues es difícil encontrar los campos de aplicación del número e. En pocas palabras, usamos el enigmático "e" siempre que queremos estimar una magnitud:

  • En economía: por el fenómeno del crecimiento acelerado, por el cálculo de los intereses ya pagados de forma continua.
  • En biología: para medir la multiplicación de células vivas en un organismo,
  • En física.
  • En informática.

Pequeño problema sorpresa de mates: ¿cómo estimar la evolución de la población mundial pasados 100 años si aplicamos un crecimiento del 10 % por año, para una inicial de 1000 individuos?

Haremos la siguiente operación:

  • Primer ciclo anual (1000 x 1,1) = 1100
  • Segundo ciclo anual (1100 x 1,1²) = 1210
  • Quinto ciclo anual (1,000 x 1,1 elevado a 5) = 1610
  • Luego de 100 años: (1,000 x 1,1 elevado a 100) = 13.780.612

Según nuestro ejemplo, con un crecimiento poblacional del 10 % por ciclo anual, ¡se ha multiplicado por 13 780!

Con una población global de 7,55 mil millones en 2019 y un crecimiento en sus habitantes del 1,2 por ciento en solo 12 meses, ¡seríamos 24,88 mil millones de personas en la Tierra en 100 años!

Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre Pi?

Cruce peatonal de una de las vías más concurridas de Tokio
¿Podemos, con la función exponencial, estimar el crecimiento de la población mundial en el futuro?

Fórmulas que usan el número e

El número e en mates ahora forma parte de varias fórmulas exponenciales como:

  • ln e = 1
  • ln ex = x
  • ex × ey = ex + y.

Pero entre todas las fórmulas que existen, la de mayor reconocimiento sigue siendo la fórmula de Euler, que el científico suizo descubrió con la ayuda del genio francés Abraham De Moivre. Esta es la siguiente:

eiπ = −1

Como ves, esta igualdad integra no sólo los clásicos Pi y e, sino adicional al muy estudiado imaginario i. Estos tres (Pi, e, i) forman parte de los mayormente conocidos.

Leonhard Euler, por su parte, descubrió otra fórmula que, esta vez, no dependía únicamente de aspectos algebraicos. De hecho, la ecuación conecta el álgebra del número e con la trigonometría. Así, encontró la siguiente igualdad:

eix = cos x + i sen x

Primer plano de elementos de estudio como Cuaderno, esfero tipo pluma, calculadora y regla.
¿Listo para calcular fórmulas con el número e? Fueron descubiertas por grandes eruditos de la ciencia.

Recursos para aprender el número e

El cálculo logarítmico, ya sea un logaritmo neperiano, los límites o la derivada, a menudo usa el curioso "e", que puede ser difícil de entender para un alumno de secundaria.

Si crees que las clases particulares de mates a domicilio son demasiado caras para un alumno con dificultades, puedes leer lecciones y hacer ejercicios en línea para aprender mates de forma gratuita. Aquí tienes algunas maneras de conseguirlo.

¿Buscas clases de mates secundaria? Prueba a encontrar a tu profesor mates online ideal en Superprof.

Vitutor

Si quieres hacer ejercicios para practicar, la web vitutor.net es una plataforma de teleformación diseñada para el aprendizaje en línea de distintas materias, sobre todo mates. Hay una gran variedad de ejercicios interactivos, apoyado por un equipo docente con formación multidisciplinar.

Los contenidos relativos a la ciencia de los Matemáticos están estructurados por cursos del sistema educativo español (Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato), o bien, por las distintas ramas de las Mates, que puedes consultar en español o inglés.

Los contenidos de los temarios son aproximados, pueden variar según las distintas regiones de Colombia.

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Échale un vistazo a esta página. El Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora (PUEMAC) surge de la inquietud de mostrar las mates de una manera amable y atractiva a un público amplio y con intereses variados.

Surge de la convicción de que, al presentar la ciencia de los matemáticos de esta manera, los estudiantes y el público verán nacer curiosidades e intereses que podrán canalizarse hacia las rutas de la enseñanza formal y la investigación.

Surge ante la escasez de materiales adecuados en los medios electrónicos que exploten las magníficas posibilidades que ofrece el software público en la red global para la enseñanza y la divulgación.

Encontrarás ejercicios de todos los niveles, incluidos el universitario y el de postgrado.

Timonmate

Es un complemento y ayuda de Mates y Física (ESO y Bachillerato). En esta página, encontrarás multitud de ejercicios resueltos de mates y física, exámenes explicados, apuntes detallados y enlaces interesantes para ampliar conocimientos.

Descubre con nosotros la historia de los números primos.

YouTube

La famosa plataforma de videos, presenta tutoriales realizados por profesores matemáticos para comprender mejor los conceptos que muchos consideran "difíciles".

Solo tienes que escribir «número e» o cualquiera de sus sinónimos para acceder a una cantidad pletórica de lecciones de mates sobre estos temas.

Aquí tienes uno, por ejemplo, particularmente educativo y divertido:

Las nuevas tecnologías e Internet no son las únicas formas de encontrar ayuda para comprender cómo funcionan el magnánimo "e" y sus fórmulas.

Los libros de texto y los manuales para matemáticos que siempre pueden serte útiles. Aunque no suelen ofrecer el mismo nivel de interactividad para los estudiantes, siguen siendo una fuente de inspiración para los profesores de mates que continúan extrayendo sus ejercicios de ellos.

Por lo tanto, los alumnos deben acostumbrarse a resolver problemas estándar que puedan aparecer en clase o durante los exámenes en lugar de acostumbrarse a los juegos, que es cierto que son útiles, pero a veces muy diferentes de los que aparecen en el aula. Por eso consideramos que es recomendable mencionar algunos libros que pueden ser de ayuda para comprender mejor este tema.

Aquí tienes algunos libros de mates y libros de texto que pueden ayudarte a comprender a "e" y la fórmula exponencial:

  • e: historia de un número de Eli Maor
  • Estudio del origen del número e y de sus aplicaciones en diversos campos de las Matemáticas por Kronecker (lo encontrarás en PDF en Internet)
  • Cartas a una joven matemática
  • E: The story of a number
  • Apocalipsis M4t3mátic0
  • ¿Es Dios un matemático?

También encontrarás muchos libros de texto en tu instituto o en la biblioteca.

Finalmente, la última forma de estudiar el enigmático "e" y sus fórmulas son las clases particulares. Las clases particulares dictadas por matemáticos, licenciados, profesionales,  te darán la oportunidad de repasar lo que no hayas entendido en clase o de sacar mejores notas si ya lo has asimilado todo. El profesor orientador te acompañará y se tomará su tiempo para explicarte todas las complejidades de esta compleja situación y su uso. También puede darte ejercicios adaptados a tu nivel para que progreses de forma eficaz.

¡Solo queda repasar!

Lee nuestro artículo sobre los números perfectos.

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Glosario Inicial

Los matemáticos suelen utilizar algunos términos que confunden, otros que parecen incomprensibles y otros que se usan en el día a día sin darnos cuenta ni que determinan, por ello, te facilitaremos la tarea con este pequeño diccionario para los fanáticos de las mates.

  • Algoritmos: Son listas de instrucciones para resolver un cálculo o un problema.
  • Ángulo recto: Es el ángulo que mide 90°.
  • Área: Es la medida de la extensión de una superficie.
  • Aristas: En geometría, es el segmento de recta que se genera por la intersección de dos planos o dos superficies.
  • Cinemática: Proviene del griego (κινεω, kineo, movimiento) es la rama de la física que estudia las leyes del movimiento de los objetos sólidos sin considerar las causas que lo originan (las fuerzas) y se limita, principalmente, al estudio de la trayectoria en funcionamiento.
  • Climatología: Ciencia dedicada al estudio de los climas en relación con sus características, variaciones, distribución, tipos y posibles causas determinantes.
  • Cociente: Resultado que se obtiene al dividir una cantidad entre otra, y que expresa cuántas veces está contenido el divisor en el dividendo.
  • Colineales: Término que indica que dos o una mayor cantidad de elementos se encuentran en una misma línea.
  • Decimales: Son los valores representados o escritos a la derecha del punto decimal, representan valores por debajo de la unidad, podemos encontrar:
    D. infinitos no periódicos: Son aquellos valores que se escriben tras el punto o coma (según el país o el sistema) poseen diferentes valores en donde no se distingue un periodo, pero con dígitos infinitos.
    D. infinitos periódicos: Son aquellos valores que luego del punto o coma poseen un mismo valor, llamado periodo que se repite infinitamente.
  • Denominador: En los cocientes de dos expresiones o términos, el que actúa como divisor.
  • Ecuaciones equivalentes: Las ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen las mismas soluciones.
  • Eje de las abscisas: Corresponde al rango de la igualdad o el término independiente, el eje horizontal que generalmente asociamos con x.
  • Expresión simbólica: Cadena de caracteres, o arreglos de caracteres, que representa cantidades, funciones y variables.
  • Factor: cifra por la que se multiplica tanto el numerador y el denominador de las fracciones.
  • Factores primos: Un entero es primo si es divisible sólo entre la unidad y entre sí mismo, excepto el 1.
  • Factorizar: Es una expresión algebraica que consiste en hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. La factorización del trinomio cuadrado perfecto es:
    H2+2hk+k2=(h+k)2
    Aplicando la factorización en nuestro caso, solo para el lado izquierdo:
    X2+bax+(b2a)2=(x+b2a)2
    Comprobando:
    (x+b2a)2=x2+bax+(b2a)2
  • Fracciones mixtas: Es la combinación de un entero y una fracción: 215 significa 2 unidades + 15 (en 115 se completan 2 unidades y sobra 215, ya que cada unidad tiene 255).
  • Función cuadrática: Es una igualdad que se expresa con un polinomio, un término cuadrático (que tiene una potencia de 2), un término lineal y un término independiente. Su forma tiene una progresión geométrica que genera una parábola al variar rápidamente en sus extremos, a diferencia de la su equivalente
  • Geometría deductiva: Geometría basada una cadena de razonamientos lógicos sustentados por definiciones, postulados, axiomas y teoremas ya demostrados.
  • Geometría empírica: Geometría que se desarrolló con base en las necesidades de los pobladores de las culturas antiguas, con base en la experiencia y sin apoyo de las fórmulas que hoy conocemos.
  • Índice: cifra que sirve para indicar el grado de la raíz.
  • Latitud: Es la distancia angular de la tierra y por lo tanto se mide en grados. Dicha distancia establece medidas que varían desde los 0° del ecuador hasta los 90°n del polo norte a los 90°s del polo sur.
  • Mecánica: La mecánica (del griego μηχανική y de latín mechanìca o arte de construir una máquina) es la rama de la física que estudia y analiza el movimiento y reposo de los cuerpos, así como su evolución en el tiempo, bajo la acción de fuerzas.
  • Método gráfico: Método de resolución para un sistema de ecuaciones que consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema.
  • Mínimo común múltiplo: El mínimo común múltiplo de dos o más valores enteros es el menor de los múltiplos comunes.
  • Minuendo: cifra al que en la operación aritmética de la resta se le quita otro (el sustraendo) para obtener el resultado o diferencia.
  • Modelación: Representar o mostrar ideas y relaciones lógicomatemáticas mediante objetos, ilustraciones, gráficas, ecuaciones, u otros métodos.
  • Modelación matemática: Consiste en establecer ecuaciones que describan las relaciones entre las variables en el análisis de un sistema o fenómeno.
  • Modelar: Representar o mostrar ideas y relaciones numéricas mediante objetos, ilustraciones, gráficas, ecuaciones, u otros métodos.
  • Modelos matemáticos: Un modelo matemático es una descripción en lenguaje numérico, de un sistema o fenómeno de la vida real; por ejemplo, las previsiones del clima, las cuales se basan en modelos matemáticos meteorológicos.
  • Múltiplo: Un múltiplo de una cifra dado es aquella cifra que al dividirla por dicho valor, el resultado es un entero.
  • Núm. racionales: Es toda cifra que puede representarse como el cociente de dos valore enteros.
  • Núm. complejos: Los valores complejos son de la forma z = a + bi, donde a y b son cantidades llamadas reales, a es la parte real del valor complejo y b es su parte imaginaria. Un ejemplo de un valor complejo es z = 3 + 2i.
  • Núm. enteros: Son el conjunto de valores formados por los naturales y sus opuestos negativos además del cero.
  • Núm. reales: La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los valores llamados reales.
  • Operadores: En aritmética, indica que debe ser llevada a cabo una operación específica sobre un cierto número. Los operadores comunes son la suma, resta, multiplicación y división entre otros.
  • Patrones: Se refieren a algo que se repite constantemente de una manera predecible. Un ejemplo son las sucesiones.
  • Periodo: Periodos: Cifra o grupo de cifras que se repiten indefinidamente, después del cociente entero, en las divisiones inexactas. Por ejemplo: 7 ÷ 6, es igual a 1,1666666...
  • Productos: Cantidad resultante de una multiplicación.
  • Propiedades de la igualdad: La igualdad en mates establece una comparación de valores representada por el signo igual, que es el que separa al primer miembro del segundo. Existen igualdades numéricas o algebraicas ejemplo:
    3+5=8
    3a−4=10
  • Radical: (nada que ver con politica) Proviene de ‘raíz’; indica la operación de extraer raíces.
  • Radicando: Es el valor del que se extrae la raíz.
  • Raíces negativas: No tiene solución en los Llamados "reales". En los "imaginarios" −1−−−√=i es la unidad.
  • Razón constante: También llamada directamente proporcional, dos magnitudes están a razón constante si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número.
  • Razón de cambio: Se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.
  • Razones: Es el cociente entre dos dígitos o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.
  • Recta transversal: Es aquella que intersecta a dos o más rectas.
  • Reglas de transposición: Permiten mover términos de un miembro a otro según convenga para resolver las ecuaciones. El principio básico de la transposición de términos es mantener la igualdad, es decir, cualquier operación que se realice en una igualdad con variables, se debe hacer en ambos miembros de la igualdad y ésta no se verá afectada.
  • Sistema de ecuaciones: Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas.
  • Sistema de numeración no posicional: Son los sistemas de numeración de mayor antigüedad, el de mayor reconocimiento es el romano. Para este tipo de sistemas, los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado y no dependen de la posición que ocupa el valor que se representa.
  • Sistemas compatibles: Es el sistema de ecuaciones que al resolverlos tiene una solución, es decir, pueden resolverse. Su solución es el punto donde se cortan las rectas si las representas gráficamente.
  • Sustraendo: Valor que en la operación aritmética de la resta se ha de quitar a otro (el minuendo) para obtener el resultado o diferencia.
  • Tabular: Que expresa valores, magnitudes u otros datos por medio de tablas.
  • Término cuadrático: El coeficiente o término cuadrático es la "a" en la ecuación de segundo grado.
  • Transitividad: Es una propiedad de la igualdad de los "reales" y establece que para cualesquiera de los números reales a, b, y c, si a=b y b=c, se concluye que a=c.
    Ejemplos:
    Si a=10 y 10=c, se concluye que a=c
    Si x+5=13 y 13=2x-5, se concluye que x+5=2x-15
  • Variable dependiente: Es aquella cuyo valor depende del valor numérico que adopta la variable independiente. Una magnitud, de este modo, es cuando el valor de la primera magnitud depende de forma exclusiva del valor que evidencia la segunda magnitud. La primera magnitud es la variable dependiente; la segunda magnitud, la variable independiente.
  • Variable independiente: Cuando el valor de una magnitud depende exclusivamente del valor de otra magnitud. Esta segunda magnitud, que determina el valor de la primera, recibe el nombre de variable independiente. En cambio, la magnitud cuyo valor depende de la otra actúa como una variable dependiente.
  • Variación directa: Dos magnitudes están en variación directa, o son directamente proporcionales, cuando ambas aumentan o disminuyen en la misma proporción y su razón es constante.
  • Volumen: Espacio que ocupa un cuerpo.
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Alexandre