Entre todas esas cifras árabes y letras raras… ¡es normal que nos perdamos! Las matemáticas son el común denominador (en términos de aritmética básica) de los cursos escolares. Dicho esto, seguramente hayas sentido envidia por alguno de esos genios para los que las ciencias no son más que un juego. Para saber todo sobre las matemáticas, intentemos seguir sus pasos, descubrir las paradojas matemáticas y viajar por el mundo de la aritmética, la trigonometría y la probabilidad. Verás cómo te van ganando poco a poco y, en poco tiempo, tú mism@ podrás aplicarlas en tus clases de matemáticas. Descubre también por qué hay tanta fascinación en torno a las matemáticas y las ciencias.

Intento de definición general

No hace falta salir de un centro de investigación o ser un estudiante de matrícula para entender en qué consiste una paradoja. El término «paradoja» designa un «hecho o expresión aparentemente contrarios a la lógica» (DRAE). En el estudio de estos fenómenos radica la esencia de las matemáticas. Resulta evidente que las ciencias físicas esconden en sus anales muchas sorpresas que se podrían resolver respondiendo a esta definición. No obstante, todos los profesores (y todos los alumnos) saben que hay unas paradojas más conocidas que otras, pero también más interesantes… o más útiles. Algunas proceden de la física y la química, otras de la tecnología, etc. Dejemos de lado el producto escalar y otras ecuaciones diferenciales y sonriamos un poquito. Más allá del cálculo, hay un proverbio chino que dice: «Tres sonrisas al día y adiós a la medicina».

A esto debemos añadirle: «y las buenas notas estarán a la vuelta de la esquina». La multiplicación exponencial de problemas de matemáticas vendrá de la división de tus errores en la vida real. Sí, os lo aseguro. Las paradojas matemáticas fascinan por completo a los enamorados de estas ciencias. Son un tema por lo menos tan fascinante como el número Pi.

Las falsas paradojas

La paradoja de Aquiles y la tortuga

No hay nada en el nombre de esta paradoja que no nos sorprenda. Para entenderla, debemos remitirnos a la fábula de la liebre y la tortuga. Si la ves venir es porque tus conocimientos te trasladarán hacia las Olimpiadas dirigidas por el Ministerio de Educación y la Real Sociedad Matemática Española. Volvamos con las tortugas… Hablamos de un antiguo sabio llamado Zenón de Elea (490-430 a.d.C), discípulo de Parménides, en la que en esta paradoja nos trata de demostrar que el movimiento no existe. Tras dejar una ventaja de cien metros a una tortuga, gracias a sus conocimientos teóricos, Zenón afirmó que Aquiles jamás la alcanzaría, ya que la tortuga seguiría avanzando para ganar. Es una idea que probablemente no nos plantearán en Selectividad, pero que no deja de ser verdad. Por supuesto, Aquiles corre más rápido que la tortuga, pero si le da ventaja a la tortuga, cuando empiece a correr, la tortuga estará ya a cierta distancia (1). Cuando Aquiles llegue al punto (1), la tortuga habrá avanzado al punto (2) y así sucesivamente... Aquiles tardará en alcanzar a la tortuga la suma del tiempo que necesite para alcanzar cada punto (1, 2, 3...).

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Matemáticas para todos.
Cifras, números y teoremas... ¡un auténtico rompecabezas!

Seguramente esta afirmación vaya en contra de vuestra lógica, pero hemos tenido que esperar hasta el desarrollo de la matemática moderna para refutarla definitivamente, gracias a la serie, la resolución de la ecuación, la equivalencia gráfica y lo infinitesimal. El problema es que Zenón piensa que la suma de una serie infinita de números debe ser infinita, (de ahí que según él, Aquiles no conseguirá alcanzar a la tortuga). Sin embargo, existen series infinitas cuya suma es finita (por ejemplo, la suma de los tiempos de los diferentes puntos). El enigma del dólar perdido parece seguir el mismo tipo de razonamiento falaz, pero forma parte de los ejercicios de matemáticas que no pasan de moda. Eso sí, si quieres poner a prueba tu lógica: ¡es lo más! Las clases particulares de matematicas son una buena alternativa a la academia matematicas más cercana.

La paradoja del cuadrado perdido

No, no se trata de un rompecabezas chino. Se trata de un breve curso de geometría de lo absurdo, una simple formulación matemática verosímil que se basa únicamente en una ilusión óptica y que trae, por lo tanto, una conclusión altamente improbable. Esta paradoja consiste en reconstruir, sobre un tablero de tangram, un triángulo con otras formas geométricas. Existen muchas soluciones posibles, una de las cuales hace que falte un pequeño cuadrado en el centro del triángulo. Sin embargo, es imposible que falte una parte de la superficie, ¿verdad? ¿Cuál es la solución? El problema es que la suma de las áreas de las figuras por separadas no es igual que la suma del área completa. Esta parte que falta no es más que el producto de la ligera deformación del triángulo, con bordes redondeados. Por tanto, es un falso triangulo que hay que redistribuir.

¡No hace falta ser experto en matemáticas para darse cuenta!

La paradoja de Banach-Tarski

Este teorema de geometría pura fue demostrado en 1924, basándose en el axioma de elección de la construcción de conjuntos que no se pueden medir. Se resume, a grosso modo, de la siguiente manera: podemos dividir una esfera en un número (limitado) de fragmentos, recolocarlos para formar dos bolas idénticas a la original, para lo que solamente hay que mover dos piezas. «Dada una bola en el espacio tridimensional, existe una descomposición de la bola en un número finito de piezas no solapadas (es decir, subconjuntos disjuntos), que pueden juntarse de nuevo de manera diferente para dar dos copias idénticas de la bola original. Todavía más, el proceso de reensamblaje requiere únicamente remover las piezas y rotarlas, sin cambiar su forma. Sin embargo, las mismas piezas no son "sólidas" en el sentido habitual, sino dispersiones de infinitos puntos.» Estarás de acuerdo conmigo en que es un planteamiento, cuanto menos, curioso. Efectivamente, algo así es imposible si estos fragmentos de esfera no se pueden medir (introducir un volumen, por ejemplo, implicaría de facto una contradicción). La metodología requiere algunas precisiones… Se trata de una paradoja porque las piezas en las que se divide solo deben rotarse y no alterarse en su forma o volumen, pues la piezas separadas no pueden cambiar su volumen. No obstante, ahí no queda la cosa: ahora te toca intentarlo tú mism@.

La geometría plana de Neumann

En 1929, John von Neumann volvió locos a muchos de sus coetáneos. También partió del axioma de elección para descomponer un cuadrado en un número determinado (limitado) de conjuntos de puntos. A continuación, gracias a las trasformaciones reducidas que conservaban sus superficies, obtuvo… no dos esferas, sino dos cuadrados.

Einstein y las matemáticas
Albert Einstein, uno de los grandes referentes de las matemáticas.

El problema inferido de esta paradoja permitió a Laczkovich, en el año 2000, explicar esta descomposición del interior de un cuadrado (conjunto delimitado equidescomponible). ¡Todo un reto para la materia gris!

La paradoja del barbero

Les encanta a los profesores de colegio e instituto, ya que les permite explicar ciertas cosas a sus alumnos. Sin embargo, Beth E.W., gran poeta de la lógica, nos pide que no le demos demasiada importancia a esta antinomia aparente. Enunciemos la paradoja del barbero: En un lejano pueblo de un antiguo emirato había un barbero que se llamaba As-Samet, diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día, el emir se dio cuenta de que había pocos barberos en el emirato por lo que ordenó que los barberos solo afeitaran a aquellas personas que no pudieran afeitarse. De este modo, obligó a todo el mundo a afeitarse. Cierto día, el emir convocó a As-Samet para que lo afeitara y le contó sus angustias: -En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo puesto que soy yo, puesto que si lo hago, yo que puedo afeitarme por mí mismo, estaré incumpliendo la orden. Sin embargo, si no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, pero como no hay otro barbero, no puedo hacerlo y también os desobedecería. Entonces el emir pensó que sus reflexiones eran tales que lo tenía que premiar con la mano de sus hijas más virtuosas. De este modo, el barbero vivió para siempre feliz y barbón. Es una buena forma de recalcar la posibilidad de que alguien promulgue una norma absurda, ¿no crees? La antinomia de Russel, que aparentemente forma parte de la teoría de los conjuntos (o de las clases) es ligeramente diferente, y se basa en el plano teórico: «En 1905, Bertrand Russel demostró que el enunciado de “conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros” era contradictorio».

Falacias y paradojas en matemáticas.
¿Sabías que estas falacias nos haces reflexionar sobre cuestiones que quizá no te habías planteado en la vida?

¿Y si la tierra se diese la vuelta como un guante?

Rumbo a la topología diferencial y a la lineal. En 1958, S. Smale formuló la «evasión (o retorno) de la esfera». Una ley que podrá divertir a los más aficionados a las matemáticas de los institutos, pero no tanto a los pequeños estudiantes de primaria. Mediante animaciones informáticas, hemos podido demostrar la posibilidad de pasar una bola del interior al exterior en nuestro espacio tridimensional. Tenemos motivos para buscar pelea con Raoul Bott, por esta homotopía que nunca nos encontraremos en nuestro día a día. De todos modos, ¿quién sabe si se convertirá en un futuro en toda una revolución técnica? ¿Quieres saber también cuáles son los mayores misterios de las matemáticas?

La contraintuición del día a día

La paradoja de Simpson

Los dibujitos amarillos no tienen nada que ver con la abstracción racional… El estadista Edward Simpson formuló esta paradoja en 1951, que está relacionada con series de datos aparentemente contradictorias, pero simplemente porque aplican criterios diferentes. Veámosla con algún ejemplo: Tenemos dos tratamientos para tratar dos problemas (tipo 1 y tipo 2):

 Tratamiento ATratamiento B
Problema tipo 1Grupo 1
100 % (1/1)
Grupo 2
98,9 % (98/99)
Problema tipo 2Grupo 3
1 % (1/99)
Grupo 4
0 % (0/1)
Ambos problemas2 % (2/100)98 % (98/100)

La paradoja es la siguiente: el tratamiento A es mejor en ambos tipos de problema, pero el B es mejor en su conjunto. Aquí es donde está la contradicción.

Teoremas matemáticos
Números relativos, polinomios, álgebra... las matemáticas nos acompañan durante gran parte de nuestros estudios.

Esta paradoja tan solo es posible si hay una variable que influya en el resultado, y si la muestra estadísticamente estudiada no se distribuye de manera homogénea. Es una invitación a tener todas las cartas en la mano antes de tomar una decisión. Descubre nuestros profes de matematicas primaria.

La metodología electoral de Condorcet

Proviene de un matemático revolucionario homónimo. Se trata de una exigencia aplicada al sistema electoral, que quiere que si debe haber un vencedor legítimo por un voto, este sea únicamente quien, frente al resto de opositores, sea preferido por vía electoral. Por oposición, es una ilustración de que un voto termina dando un resultado diferente o contrario a las voluntades reales del cuerpo electoral. En resumen, según la forma en la que se desarrolle la votación, el resultado será uno u otro. Una entrada de este principio en la Constitución haría que fuese imposible el funcionamiento de las instituciones, pero ¿merecería la pena intentarlo?

Matemáticas más entretenidas.
Las paradojas no dejan de sorprendernos para hacernos reflexionar.

¿No lo entiendes? Te ponemos un ejemplo: En unas elecciones hay tres candidatos (A, B y C) y hay tres votantes cuyas preferencias son:

  • Votante 1: A, B, C
  • Votante 2: B, C, A
  • Votante 3: C, A, B

Imaginemos que se declara vencedor al candidato A; se podría argumentar que, en realidad, C debería ser quien ganara porque:

  • dos votantes (el 2 y el 3) piensan que C es un mejor candidato que A;
  • solo hay un votante (el 1), que prefiere al candidato A sobre el C.

Al ser el candidato C preferido sobre A por una mayoría de votantes, el candidato A no puede en realidad declararse vencedor. No obstante, este argumento demuestra que B es elegido por una mayoría de votantes sobre C, por lo que C no puede declararse vencedor. De nuevo, el argumento implica que B no puede ser el ganador de la elección. Por tanto el requisito de la regla de mayoría no produce un ganador en esta situación. Por lo tanto, la paradoja de Condorcet nos indica que una persona que puede reducir alternativas tiene esencialmente la capacidad de guiar la elección. Por ejemplo, si los votantes 1 y 2 escogen a sus candidatos preferidos (A y B respectivamente) y si el votante 3 está dispuesto a renunciar su voto por C, entonces el tercer votante puede escoger entre A y B y convertirse en el votante decisivo. Los científicos han utilizado las matemáticas para determinar el papel protagonista de Juego de Tronos. ¿Créeis que han usado a Condorcet y su metodología electoral? Si quieres encontrar un cursos de matematicas online, no dudes en consultar los anuncios disponibles sobre nuestra plataforma.

La paradoja del cumpleaños

Esta paradoja se enmarca dentro de la estadística. Según esta paradoja, se afirma que en un cumpleaños con 23 personas, hay una probabilidad de más del 50 % de que al menos dos personas cumplan años el mismo día. De hecho, si hay 50 personas, la probabilidad es casi del 100 % (97% exactamente). En verdad, no se trata de una paradoja per se, porque no es una contradicción lógica; sin embargo, es una verdad matemática que supone una contradicción para el sentido común: parece una especie de ilusión mental, ya que el sentido común dicta lo contrario que la demostración matemática.

Estudiar matemáticas
Las paradojas matemáticas son de gran utilidad a la hora de estudiar y comprender.

La paradoja de Monty Hall

Otra paradoja que se enmarca dentro del campo de la estadística es la paradoja (o problema) de Monty Hall, también llamada la paradoja de las tres puertas. Este problema se basa en un concurso de la televisión (Trato hecho - Let's Make a Deal) en el que un concursante debe elegir una puerta entre tres (todas están cerradas) tras la cual se encuentre el coche, el premio que se podrá llevar. Una vez elegida la puerta, lo pone en conocimiento de los espectadores y del presentador, que bien sabe lo que hay detrás de cada puerta. El presentador abrirá una de las puertas en las que no hay nada (bueno, una cabra), entonces el concursante tendrá la opción de cambiar, si así lo desea (ya solo está entre dos opciones).  ¿Hay alguna diferencia entre mantener la elección original o cambiar de puerta? Como la respuesta parece contradecir la intuición, de ahí que hablemos de que se trata de una paradoja. La solución, aunque aparentemente parezca sencilla es que este problema tiene trampa puesto que a menos que el concursante haya escogido el coche en su elección inicial, tendrá menos probabilidad de acertar que si cambia de puerta.

Paradoja de los números interesantes

Esta paradoja, con ciertos toques de humor, busca demostrar que TODOS los números naturales son interesantes. La denominación de «interesante» viene de algo que todos sabemos y hasta sufrimos constantemente: la búsqueda de propiedades únicas o características especiales a determinados números. Si alguien afirma que un cierto número no es interesante, aquel que diga que los números naturales son siempre interesantes dirá que se equivoca y que ese número es interesante porque, por ejemplo, se corresponde con el número del año en el que se sucedió un determinado hecho o que es producto de la suma de otros números naturales (también interesantes). Para demostrar esta aseveración, deberemos dividir los números en naturales y aburridos. Así, siempre habrá un número que será el más pequeño de los aburridos, por lo tanto pasará a ser interesante y, por lo tanto, habrá que moverlo de grupo. De este modo, continuaremos pasando todos los números de tal forma que el grupo de los números aburridos se quedará completamente vacío y que, por lo tanto, todos los números son interesantes.

Paradojas humorísticas y absurdas
Hay paradojas que aúnan las matemáticas con el humor...

La paradoja reside en que esta reducción al absurdo tiene un aspecto subjetivo muy ambiguo: el hecho mismo de ser interesantes. Interesante, ¿verdad?

La paradoja de las patatas

La paradoja de las patatas consiste en un cálculo matemático cuyo resultado es ilógico para el sentido común. La «paradoja» reside en la deshidratación de las patatas; de tal modo, que disminuya la cantidad y, por lo tanto, se produzca un cambio de masa superior a lo esperado. Podemos enunciar la paradoja de la siguiente forma:

«Tienes 100 kg de patatas, cuyo peso está compuesto por agua en un 99 %. Las deshidratas hasta que contengan un 98 % de agua. ¿Cuánto pesan ahora? ¿99 kg? No: sorprendentemente ahora pesan 50 kg.»

Una posible explicación es que el peso de las patatas que no corresponde al agua es de 1 kg, lo cual representa el 1 % de 100 kilogramos. La pregunta siguiente es: ¿1 kilogramo es el 2 % de cuántos kilos? Para que el porcentaje sea el doble del original, el peso total debe ser la mitad de grande. 100 kg de patatas --> 99 % agua (por peso) = 99 kg de agua y 1 kg de sólidos. (Proporción 1:99). Si se disminuye el agua hasta un 98 %, el peso de los sólidos pasará a ser un 2 % del peso. La proporción deseada (2:98) es equivalente a 1:49. Como los sólidos siguen pesando 1 kg, se debe reducir el agua hasta que pese 49 kg.

Rogers, ¡qué fenómeno!

Profesores de matemáticas divertidos.
Los profesores particulares de matemáticas nos pueden enseñar a entender todos los entresijos de esta disciplina.

La formulación de este proceso matemático es de lo más simple. En presencia de dos conjuntos, al desplazar un elemento de uno a otro, puede ocurrir que la media de cada uno de estos dos grupos… ¡aumente! No obstante, se deben cumplir dos condiciones: el número desplazado debe ser inferior a la media de su conjunto original y superior a la de su conjunto de destino. Como ves, no es demasiado complicado. Estemos preparando Selectividad o estudiando ingeniería, este caso límite está a nuestro alcance. En definitiva, entre los problemas falsos y los verdaderos, tenemos en qué entretenernos. Ahora podrás encandilar por completo a tu profe de matemáticas o a tus compañeros de clase. ¿Sabías que unos matemáticos americanos utilizaron las matemáticas para saber quién es el protagonista de Juego de Tronos?

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Santiago

Soy estudiante Colombiano y Superprofe ocasional. Me encanta compartir mis conocimientos y descubrir nuevas culturas.