"Una teoría matemática se considerará perfecta solo si se ha hecho de una forma tan clara que la pueda entender el primer individuo que pase por la calle". David Hilbert (1862-1943), matemático alemán.

Aprender matemáticas es como tomar clases de piano o de guitarra, no es algo que se improvisa, sino que hay que comprender y deducir mediante el razonamiento lógico en vez de aprender de memoria.

Tendrás que comprender la resolución de una ecuación, de una inecuación o de una diferencial, o saber hacer una tabla de variaciones de una función afín o de una lineal, etc.

Toma clase de matemáticas en casa.

Por supuesto, la continuidad de las clases, requieren el conocimiento de las tablas de multiplicar y el aprendizaje de los diferentes teoremas, especialmente, relativos a la geometría o a la probabilidad (la famosa ley normal y la ley binomial no son innatas).

No obstante, para analizar una función (estudiar los límites de las funciones, estudiar una función logarítmica o exponencial, hacer  un conteo básico integral, etc.), es mejor comprender el lenguaje matemático.

Es como una clase de alemán o de inglés, aprendemos el vocabulario y la gramática, pero a su vez tenemos que comprender cómo se construye una oración.

Desde el colegio, ya podemos visualizar la primera bestia negra de muchos alumnos: la función.

Dado que las funciones se encuentran en el plan de estudios y en el currículo de los institutos, hace falta dominarlas cuanto antes mejor. Por supuesto, siempre cabe la posibilidad de completar tu aprendizaje mediante clases particulares.

En este artículo a modo de clase de ejercicio de repaso, a sí mismo podrás leer sobre qué es una función y su teoría.

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¿Qué es una función?

"La matemática tienen belleza y romance. El mundo de las matemáticas no es un lugar aburrido en el que estar. Es un lugar extraordinario; merece la pena pasar el tiempo allí." Marcus du Sautoy.

Recordemos que la matemática no suele ser la asignatura favorita de los estudiantes que están en el procesos de formación, en cambio si es la asignatura que da muchos dolores de cabeza a los mismo. Existen algunos métodos para hacer que sea menos difícil entender un tema, por lo menos si nos referimos a los idiomas, la clave sería conocer el significado de palabras raras como displaystyle. En las matemáticas una de las mejores formas de entenderlas es ir un paso  a la vez, por esto consideramos necesario que tengas claro que son las funciones.

En la matemática se dice que una magnitud es función de otra si si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Un ejemplo sencillo lo vemos en un ejercicio de área de perímetro, donde encontrados que el área A de un círculo es función de su radio R. Otro ejercicio para entender las funciones se puede dar cuando necesitamos saber cuanto tarda un tren que va entre dos ciudades separadas por 150 km, podemos saber cuanto tarda, dependiendo de la velocidad que este lleve.

Existen varios tipos de funciones, por ejemplo:

  • Algebraicas.
  • Polinómicas.
  • Constantes.
  • Polinómicas de primer grado.
  • Racionales.
  • Radicales.
  • Algebraicas a trozos.
  • Funciones trascendentes.
  • Exponenciales.
  • Logarítmicas.
  • Funciones trigonométricas.

Para las personas que opinan que la matemática y sus derivaciones no serían de mucho en la vida cotidiana, queremos que pongan en práctica algunos ejercicios, de hecho con uno solo podemos comprobar su utilidad.

Función afín: definición y teorema

Esta es una función que, en cualquier valor x definido en ℝ (la escala de los números reales), asocia el número ax + b, siendo «a» y «b» números relativos.

Tabla de dibujo, hoja color naranja, regla transparente y unas manos sosteniendo un lápiz para trazar rectas.
Las clases particulares te servirán para aprender a estudiar mejor las ecuaciones simples de f(x).

Representamos esta función mediante la ecuación siguiente: f(x): ax + b o f(x) = ax + b.

El factor «b» debe ser diferente a 0. ¿Por qué? Porque si b = 0, entonces tenemos que f(x) = ax y entonces hablamos de una expresión lineal.

Si «a» es igual a cero, entonces decimos que la función f(x) = b es constante; de hecho, todos los puntos de la misma línea tienen el mismo dominio de ordenadas (b) y la curva será paralela al eje de abscisas.

Estas son las dos particulares que tendrás que tener en cuenta con esta función.

El valor «b» representa, en una representación gráfica, la ordenada en el origen: es el punto donde la curva pasa por el enlace de ordenada (y) en su distancia desde el origen (0).

La variable «a», denominada «coeficiente de dirección», hace referencia al grado de la pendiente de la curva, calculable a partir del dominio de abscisas (x) en el plano.

Cuanto mayor sea el factor «a», mayor será la pendiente de la curva, que podrá ser positiva o negativa.

Para causar una buena impresión en los ejercicios de expresión gráfica matemática en la prueba de acceso a la Universidad, podrás escribir que el número de f(x) mide la tasa de aumento de cada ordenadas por unidad de abscisas.

Por lo tanto, en relación a dicha función, es un conjunto de valores que resuelve la ecuación y = ax + b, en el intervalo dado, y cuya descripción tomará la forma de una recta oblicua o decreciente.

Entonces, debemos leer que «f» es la función que en el factor «x» coincide con el número «ax + b»: «x» es el antecedente, «ax + b», la imagen de «x» en el intervalo. El resultado escrito es f(x) = ax + b.

Por ejemplo si f(x) = 3x, obtendremos una derivada, denominada d1, creciente, que corta las ordenadas en el punto 0. Si f(x) = -x, entonces tendremos las gráficas d2, que será decreciente.

Otra peculiaridad que deberás tener en cuenta es que si f(x) = -5, entonces la línea será constante y cruzará en el punto -5.

Para hacer el cálculo de la imagen de un «x» real, bastará con multiplicar «x» por el coeficiente «a» y sumar la constante «b». Entonces, podremos comenzar a dibujar las rectas gráficamente en el plano. Aborda estas nociones y preguntas durante las clases con tu profesor particular.

¡Descubre en qué consiste la división euclídea!

Hacer la representación gráfica de una función afín

Recuerdo que en el instituto no se me daba demasiado bien la matemática, sobre todo, el análisis de funciones. Tardé tiempo, tuve que hacer muchos cursos de matematicas basicas y ejercicio para finalmente cogerle el truco y perfeccionar mi nivel.

 

Plano cartesiano, con dos rectas trazadas.
¿Cuál es el coeficiente de dirección en el plano de las siguientes gráficas?

Aprender a representar gráficamente una recta de función afín de dominio, requiere que el profesor de matemática sea un buen pedagogo y sepa transmitir una metodología eficaz a cada alumno.

Sin embargo, aunque podamos decir que no es difícil, siempre que no se comprende, puede parecer todo un mundo.

'Cuando doy clases de piano a mis amigos, que son tan solo principiantes, hay cuestiones que no entienden desde el primer momento, como las diferencias entre los intervalos para diferenciar un acorde mayor de un acorde menor: la noción de tercer menor o el tercer mayor implica emplear el cálculo de intervalos (tonos y semitonos entre las notas). Sin embargo, para mí es algo sencillo...'

Para poder representar las gráficas de una función, tomemos como ejemplo la siguiente función:

f(x) = 2x – 3

La función f(x) tiene la forma ax +b, siendo a = 2 y b =  – 3, por lo que se trata de una función afín.

Lo primero que tendremos que hacer para trazar la recta de la operación y = 2x – 3 es hallar dos puntos, que los buscaremos al azar a partir del factor de x:

Para x = 0, f(x) = – 3 [PUNTO A]

Para x = 2, f(x) = 1 [PUNTO B]

De este modo, obtenemos los puntos A y B cuyas matrices X e Y son para A = 0; – 3 y para B = 2; 1.

Sin embargo, podemos agregar un tercer punto para evitar posibles errores y verificar que la hemos trazado bien. Por ejemplo, si le damos a «x» el valor de – 2, obtendremos que f(x) = – 7. De este modo, podremos trazar la recta de la ecuación y = 2x – 3 conectando los puntos entre sí.

Otro método que podemos utilizar es el siguiente:

Comienza por la ordenada – 3, «sube» 4 unidades y desplaza 2 unidades hacia la derecha en el x, o «sube» 6 unidades en el eje (y) y 3 en el de abscisas.

Cuando «x» aumenta en 1, «y» aumenta en dos, de ahí que obtengamos que a = 2.

De este modo, obtenemos las siguientes coordenadas: A (0, – 3), B (2, 1) y C (3, 3), lo que nos permitirá graficar la recta d1, donde cada punto de la línea cumple con la ecuación y = 2x – 3.

Descubre aquí qué es la geometría.

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¿Cómo determinar una función afín?

En relación a una función f es fácil si conocemos los valores de «a» y «b». En nuestro ejemplo f(x) = 2x – 3.

Decimos que f(2) = 1, que f(– 2) = – 7 y que f(1) = – 1.

Para calcular nuestra función, podemos emplear dos métodos: el cálculo y la lectura sobre los ejes de coordenadas.

Plano cartesiano con una recta color rojo trazada sobre el.
Calcula los valores de «a» y «b» para poder trazar.

Hacer el cálculo a partir de la representación gráfica

Es el método menos complicado, pero a partir de la segunda clase, como verás, la gráfica no siempre vendrá en los ejercicios.

Para gráfica interactiva f(x) = 2x – 3, bastará con ver qué puntos de las rectas cortan los ejes x e y. En nuestro caso, encontramos los puntos A (0; – 3), B (2; 1) y C (3;3), de donde deducimos que la recta d1 presenta tipo y =2x – 3.

Determinar una función mediante cálculos

Si no contamos con la descripción gráfica o el profesor nos pide que razonemos cuál es la expresión, ¿Cómo lo podemos hacer?

Pues aquí te dejamos una fórmula mágica:

Cuando f es una función afín no lineal, los valores de «x» que cumplen f(x) no son proporcionales; sin embargo, sí lo son entre los valores de «x».

Casos de factorización

Para calcular el coeficiente de dirección con dos números x1 y x2 y su presentación f: a =Tenemos que x1 = 0 y x2 = 0, con f(x1) = – 3y y f(x2) = 1.

Al reemplazar las incógnitas, obtenemos a = (– 3, – 1) / (0, – 2) = – 4 / – 2, donde a = 2.

¡Descubre qué es el álgebra!

¿Conoces nuestros cursos? Si apenas se está empezando, puedes buscar una clase de matematicas para niños de preescolar.

Estudiar el signo de una función afín

Ahora que tenemos la pendiente y su descripción gráfica, ¿Cómo estudiamos el signo de f?

Niño viendo de frente con un bate atrás de su cuello, el cual sostiene con su mano.
Tranquilo, no hace falta recurrir a la fuerza. Persevera y ya verás que lo consigues.

Cualquier persona que haya cursado estudios superiores de estadística, sin tener que ser «matemática» pura, habrá estudiado la noción del signo.

Si «a» es positivo, la función f aumenta y si no, esta terminara siendo negativa.

Si x1 < x2, entonces ax1 < ax2 y ax1 + b < ax2 + b y f(x1) < f(x2). En este caso, – 2 es inferior a 0 y – 7 es inferior a – 3.

Por lo tanto, nuestra función f(x) = 2x – 3 es creciente. Los valores de f(x) comenzarán así de negativo a positivo cruzando el punto 0 en la ordenada – 3.

La ecuación ax + b = 0 (siendo a ≠ 0) tiene una solución única que es x = ((– b) / a). Cada recta de la ecuación y = ax + b corta el eje de abscisas en el punto de matrices ((– b/a; 0).

Como b = – 3 y a = 2, deducimos que el signo de f es positivo en el punto de coordenada (2/3; 0).

Para estudiar la variación de f(x), tendrás que conocer la derivación matemática.

Ten en cuenta que f es derivable en todos los ℝ y que para todo x​∈​ℝ, f ‘(x) = 2x – 3 = 2. Por lo que f ‘ (x)  es positiva.

Los signos de f serán: negativos de – ∞ al punto 2/3, y positivo desde el punto 2/3 hacia +∞.

Para no perderte con tantos conceptos, puedes apuntarte a clases de matematicas online. Y si vives en la capital, no dudes en buscar clases particulares en Bogotá.

Descubre junto a nosotros nuestra definición de las tablas de multiplicar...

¿Se aplican a la vida real?

La matemática, es tal vez la asignatura que siempre nos ha hecho preguntarnos si de verdad van a tener una aplicación a la vida real, o si todo lo que se va analizando, una  fórmula tras otra, va a ser de utilidad para resolver cosas de la vida real. No estamos hablando de cosas básicas de la primaria, es obvio que las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, nos van a ser de utilidad a lo largo de toda nuestra vida. Sin embargo, si vamos profundo, hacia el álgebra, o la derivada, hablo de asignaturas que empezamos a profundizar en los grados del bachillerato, de las cuales nos vamos preguntando a medida que vamos desarrollando nuestra orientación universitaria, vamos viendo tantas aplicaciones de la matemática como algo que sobra para ese camino profesional y para llevar a cabo un trabajo en nuestras vidas futuras.

Con pretextos de tipo; si voy a ser psicólogo, ¿para qué quiero conocer los casos de factorización?, o también si me convertiré en periodista de una org, y lo mío es la comunicación social, ¿no voy a necesitar las funciones lineales o subir operaciones de litros de yo qué sé?, si lo mío son las lenguas, prefiero saber el o las formas de usar el the, que sea lo que sea que signifique el displaystyle. Y nos preguntamos si los pensum de los colegios deberían ser modificados a fin que esa profundización en las mates, sea limitada únicamente a personas que se interesan en carreras afines; como la ingeniería o algunas en el campo de las ciencias, o más importante, matemática pura o aplicada. Los demás, deberían tener una orientación en mayor volumen hacia lo que van a desarrollar en su carrera, así harían la educación un tanto más funcional, produciendo personas también involucradas con su vocación desde adolescentes, y menos deserciones al ver que la carrera por la que tanto esperaban, realmente no sea lo que esperaban.

Esto tiene mucho de verdad, y de hecho hay muchas instituciones, docentes y org alrededor de todo el mundo que mantienen revisando constantemente como el modelo educativo que podríamos llamar estándar dejará de ser así, hay unas instituciones que están probando esos modelos educativos y, los colegios, cada vez tratan de involucrar en mayor volumen en sus pensum, tratando de lograr una educación enfocada a la carrera que los estudiantes se vayan decidiendo tomar. Claro, de momento no pueden cortar la intensidad por la matemática o las materias que más deseas, y este modelo va a seguir así, en teoría durante muchos años. Al menos mientras en la educación se lleve una reforma de pies a cabeza.

No siendo este el caso, de momento es algo que no se puede hacer, sencillamente hay muchos motivos:

  • No es que la educación no piense en ti, pero es necesario hacer la conjetura de la calidad de la educación de cada uno de estos centros educativos, además de los métodos que se usan y que cada vez se van implementando con mayor continuidad en el día a día de las clases. Por esto existen los exámenes de estado (ICFES, que por cierto este año fue totalmente virtual) a nivel nacional, y el informe PISA a nivel mundial. Por lo que ni los coles ni las naciones pueden escapar del modelo estándar de la formación.
  • Esa calidad de la educación es determinante para medir los niveles de alfabetización de una comunidad. Y para tus padres, determinante a la hora de escoger el colegio en el cual vas a estudiar.
  • Representaría una reforma como decía antes, de pies a cabeza, los costes serían extremos, y la nueva realidad un tanto dura mientras nos adaptamos, seguro muchas personas se quedarían por fuera de esto, bajando como nunca los niveles de alfabetización mundial.

Hay muchas razones más para que de momento el modificar toda la educación. De momento el consejo es encarar estas asignaturas con disciplina y entrega, piensa que tienes la oportunidad de probarte, ya que en tu carrera vas a tener que pasar por cosas que no te gustan mucho, y no por eso debes tirar la toalla, esto te ayudará a crear esa mecánica y hábito de estudio. Además, no importa lo que aprendas, eso representa para tu formación algo muy positivo, y para tu cerebro, una gran ganancia y contribución en su búsqueda constante de objetivos.

Aprende a dominar el tema

"Mientras que la física y la matemática nos pueden decir cómo comenzó el universo, no son muy útiles en predecir el comportamiento humano porque hay muchas ecuaciones que resolver." Stephen Hawking

Resulta que la matemática y cada descripción que esta tiene, son útiles en al vida cotidiana, a veces sin importar el camino que tomes. Que tal que en el proceso de graficar ecuaciones lineales o ecuaciones a fin, te decidas por una carrera que tenga que ver con esto. Así como es importante que escojas una carrera, es muy importante que conozcas todos los contenidos, esto te ayudará encaminar mejor tu futuro profesional, y ya visto que es obligatorio dominar el tema para aprobar el bachillerato, lo mejor es meterle ganas y practicarle, para lograr que nos sea menos difícil.

Toma cursos virtuales

La mayoría de los cursos virtuales son creados por instituciones que desean ver un mejor desempeño de sus estudiantes, a la hora de graficar ecuaciones, o de hacer la descripción de un ejercicio. En estos cursos podrás aprender las diferentes técnicas y métodos elementales que existen actualmente para poder solucionar sistemas de funciones lineales y a fin. Aunque podemos ver que al ser un tema tan avanzado, la mayoría de los cursos se centran en facilitar la entrada de los alumnos del primer semestre de cualquier grado universitario que se enfoque en ciencias de la ingeniería. La mayoría de ellos cuentan con ejercicios interactivos en los que el estudiante podrá probar si el tema de las funciones lineales o a fin fue percibido en su totalidad.

Los videos

Subir un video a la red, es una forma simple de compartir conocimientos y de hacer ver a el estudiante que realmente cada función lineal o cada función a fin es importante en la vida cotidiana. Aunque en un video no encontramos ejercicios interactivos, podemos ver ejercicios como el que traemos a contexto.

Dada la siguiente situación, resolver las preguntas.

Un tanque contiene 9.000 litros de agua. Para vaciarlo, se recurre a una bomba que tiene capacidad de extraer 1000 litros de agua por minuto.

Entre las preguntas podemos ver que la principal sería. ¿Cuánto tiempo tardará la bomba en vaciar el tanque? Lo primero que debemos hacer para representar el ejercicio es una tabla.

Tiempo que ha trascurrido Cantidad de agua dentro del tanque.
29300
49100
68900
88700

Para crear la tabla debemos encontrar los valores según los números que elegimos:

La fórmula es 9.000 litros de agua que tiene el tanque - 1000 (litros extraídos por minuto) * x (tiempo que queremos encontrar).

¡Hagámoslo!

9.000 - ( 1000* 2 = 2000) 2000 = 7.000.

9.000 - (1000*4 = 4000 ) 4000 = 5000.

9.000- ( 1000*6= 6000 ) 6000 = 3.000.

9.000- ( 1000 * 8= 8000) 8000 = 1.000.

Ahora veamos cual es la dependiente y la variable de la situación dada.

Dependiente: (Y) cantidad de agua en el tanque.

Independiente: (X) cantidad de tiempo transcurrido.

¿Cuál sería la fórmula?

9.000 - 1000x = y

y = 9.000 = 1000x

Ahora vamos a resolver la primer pregunta. Por simple razonamiento podemos deducir que cuando el tanque quede vacío, la cantidad de agua es de 0. Así que planteemos lo siguiente:

y = 9.500-1000x

Cambiamos y por 0 ya que deducimos que al vaciar el tanque la cantidad de litros es 0.

0 = 9.500 - 1000x

Finalmente solo nos queda un valor por la que sería la (x) del tiempo que tarda en vaciar el tanque. Para ello debemos despejar al (x) donde el 9.500 pasa a restar el menos 100 pasa a dividir.

0 - 9.000= -1000x

- 9.000 : (-1000) = x

9 =  x

El tanque de 9.000L con una bomba que extraiga 1000L de agua, tardara 9 minutos en quedar vacío.

Ahora por último, nos queda graficar la evolución del ejercicio que tuvimos en escena.

Cuadrante I de un plano cartesiano
La evolución de un proceso, graficado.

Aunque ciertamente para entender mejor, la mejor opción es subir un video, en la gráfica podemos evidenciar que la recta no pasa por por el eje 0, y representa el volumen del tanque a medida que la bomba de agua va cumpliendo con su función.

Los profesores

Las clases con profesores particulares de Superprof.co están en pleno auge sobre todo en esta época de crisis por la que pasa el mundo y en la que el mundo de la educación se ha visto tan afectada. La mejor opción que siempre vamos a tener cuando intentemos entrar en un nuevo tema o cuando necesitamos dominarle mejor, siempre van a ser los profesores particulares, pues con ellos podrás resolver todas las dudas que tengas (sobre todo en las matemática), que suele ser tan difícil ante los ojos de muchos.

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Santiago

Soy estudiante Colombiano y Superprofe ocasional. Me encanta compartir mis conocimientos y descubrir nuevas culturas.