«Una teoría matemática se considerará perfecta solo si se ha hecho de una forma tan clara que la pueda entender el primer individuo que pase por la calle». David Hilbert (1862-1943), matemático alemán

Aprender matemáticas es como tomar clases de piano o de guitarra, no es algo que se improvisa, sino que hay que comprender y deducir mediante el razonamiento lógico en vez de aprender de memoria.

Tendrás que comprender la resolución de una ecuación, de una inecuación o de una diferencial, o saber hacer una tabla de variaciones de una función afín o de una función lineal, etc.

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Por supuesto, la continuidad de las clases, requieren el conocimiento de las tablas de multiplicar y el aprendizaje de los diferentes teoremas, especialmente, relativos a la geometría o a la probabilidad (la famosa ley normal y la ley binomial no son innatas).

No obstante, para analizar una función (estudiar los límites de las funciones, estudiar una función logarítmica o exponencial, hacer  un conteo basico integral, etc.), es mejor comprender el lenguaje matemático.

Es como una clase de alemán o de inglés, aprendemos el vocabulario y la gramática, pero también tenemos que comprender cómo se construye una oración.

Desde el colegio, ya podemos visualizar la primera bestia negra de muchos alumnos: la función.

Dado que las funciones se encuentran en el plan de estudios y en el currículo de los institutos, hace falta dominarlas cuanto antes mejor. Por supuesto, siempre cabe la posibilidad de completar tu aprendizaje mediante clases particulares.

En este artículo a modo de clase de ejercicio de repaso, podrás leer tambien sobre qué es una función y su teoria.

Función afín: definición y teorema

Esta es una función que, en cualquier valor x definido en ℝ (la escala de los números reales), asocia el número ax + b, siendo «a» y «b» números relativos.

Definición de la función afín
Las clases particulares te servirán para aprender a estudiar mejor las ecuaciones simples de f(x).

Representamos esta función mediante la ecuación siguiente: f(x): ax + b o f(x) = ax + b.

El número «b» debe ser diferente a 0. ¿Por qué? Porque si b = 0, entonces tenemos que f(x) = ax y entonces hablamos de una expresion lineal.

Si «a» es igual a cero, entonces decimos que la función f(x) = b es constante; de hecho, todos los puntos de la misma línea tienen el mismo dominio de ordenadas (b) y la curva será paralela al eje de abscisas.

Estas son las dos particulares que tendrás que tener en cuenta con esta funcion.

El valor «b» representa, en una representación gráfica, la ordenada en el origen: es el punto donde la curva pasa por el enlace de ordenadas (y) en su distancia desde el origen (0).

La variable «a», denominada «coeficiente de dirección», hace referencia al grado de la pendiente de la curva, calculable a partir del dominio de abscisas (x) en el plano.

Cuanto mayor sea el número «a», mayor será la pendiente de la curva, que podrá ser positiva o negativa.

Para causar una buena impresión en los ejercicios de expresion gráfica matemática en la prueba de acceso a la Universidad, podrás escribir que el numero de f(x) mide la tasa de aumento de las ordenadas por unidad de abscisas.

Por lo tanto, en relacion a dicha función, es un conjunto de valores que resuelve la ecuación y = ax + b, en el intervalo dado, y cuya descripcion tomará la forma de una recta oblicua, creciente o decreciente.

Entonces, debemos leer que «f» es la función que en el número «x» coincide con el número «ax + b»: «x» es el antecedente, «ax + b», la imagen de «x» en el intervalo. El resultado escrito es f(x) = ax + b.

Por ejemplo si f(x) = 3x, obtendremos una derivada, denominada d1, creciente, que corta lase ordenadas en el punto 0. Si f(x) = -x, entonces tendremos las graficas d2, que será decreciente.

Otra peculiaridad que deberás tener en cuenta es que si f(x) = -5, entonces la línea será constante y cruzará en el punto -5.

Para calcular la imagen de un «x» real, bastará con multiplicar «x» por el coeficiente «a» y sumar la constante «b». Entonces, podremos comenzar a dibujar las rectas en la gráfica. Aborda estas nociones y preguntas durante las clases con tu profesor particular.

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Hacer la representación gráfica de una función afín

Recuerdo que en el instituto no se me daban demasiado bien las matemáticas, sobre todo, el análisis de funciones. Tardé tiempo, tuve que hacer muchos cursos y ejercicio para finalmente cogerle el truquillo y perfeccionar mi nivel.

 

Cómo representar funciones afines.
¿Cuál es el coeficiente de dirección de las siguientes graficas?

Aprender a representar gráficamente una recta de función afín de dominio, requiere que el profesor de matemáticas sea un buen pedagogo y sepa transmitir una metodología eficaz a cada alumno.

Sin embargo, aunque podamos decir que no es difícil, siempre que no se comprende, puede parecer todo un mundo.

Cuando doy clases de piano a mis amigos, que son tan solo principiantes, hay cuestiones que no entienden desde el primer momento, como las diferencias entre los intervalos para diferenciar un acorde mayor de un acorde menor: la noción de tercer menor o el tercer mayor implica emplear el cálculo de intervalos (tonos y semitonos entre las notas). Sin embargo, para mí es algo sencillo...

Para poder representar las graficas de una función, tomemos como ejemplo la siguiente función:

f(x) = 2x – 3

La función f(x) tiene la forma ax +b, siendo a = 2 y b =  – 3, por lo que se trata de una función afín.

Lo primero que tendremos que hacer para trazar la recta de la operacion y = 2x – 3 es hallar dos puntos, que los buscaremos al azar a partir del numero de x:

Para x = 0, f(x) = – 3 [PUNTO A]

Para x = 2, f(x) = 1 [PUNTO B]

De este modo, obtenemos los puntos A y B cuyas matrices X e Y son para A = 0; – 3 y para B = 2; 1.

Sin embargo, podemos agregar un tercer punto para evitar posibles errores y verificar que la hemos trazado bien. Por ejemplo, si le damos a «x» el valor de – 2, obtendremos que f(x) = – 7. De este modo, podremos trazar la recta de la ecuación y = 2x – 3 conectando los puntos entre sí.

Otro método que podemos utilizar es el siguiente:

Comienza por la ordenada – 3, «sube» 4 unidades en el eje y desplaza 2 unidades hacia la derecha en el x, o «sube» 6 unidades en el eje de ordenadas y 3 en el de abscisas.

Cuando «x» aumenta en 1, «y» aumenta en dos, de ahí que obtengamos que a = 2.

De este modo, obtenemos las siguientes coordenadas: A (0, – 3), B (2, 1) y C (3, 3), lo que nos permitirá dibujar la recta d1, donde cada punto de la línea cumple con la ecuación y = 2x – 3.

Descubre aquí qué es la geometría.

¿Cómo determinar una función afín?

En relacion a una función f es fácil si conocemos los valores de «a» y «b». En nuestro ejemplo f(x) = 2x – 3.

Decimos que f(2) = 1, que f(– 2) = – 7 y que f(1) = – 1.

Para calcular nuestra función, podemos emplear dos métodos: el cálculo y la lectura sobre el eje de coordenadas.

Cómo representar funciones
Calcula los valores de «a» y «b» para poder trazar la recta.

Calcular una función a partir de la representación gráfica

Es el método más sencillo, pero a partir de la segunda clase, como verás, la gráfica no siempre vendrá en los ejercicios.

Para grafica interactiva f(x) = 2x – 3, bastará con ver qué puntos de las rectas cortan los ejes x e y. En nuestro caso, encontramos los puntos A (0; – 3), B (2; 1) y C (3;3), de donde deducimos que la recta d1 presenta una ecuación de tipo y =2x – 3.

Determinar una función mediante cálculos

Si no contamos con la descripcion gráfica o el profesor nos pide que razonemos cuál es la expresion, ¿cómo lo podemos hacer?

Pues aquí te dejamos una fórmula mágica.

Cuando f es una función afín no lineal, los valores de «x» que cumplen f(x) no son proporcionales; sin embargo, sí lo son entre los valores de «x».

Casos de factorización

Para calcular el coeficiente de dirección con dos números x1 y x2 y su representación f: a =Tenemos que x1 = 0 y x2 = 0, con f(x1) = – 3y y f(x2) = 1.

Al reemplazar las incógnitas, obtenemos a = (– 3, – 1) / (0, – 2) = – 4 / – 2, donde a = 2.

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Estudiar el signo de una función afín

Ahora que tenemos la pendiente de la recta y su descripcion gráfica, ¿cómo estudiamos el signo de f?

Motivación con las funciones afines.
Tranquilo, no hace falta recurrir a la fuerza. Persevera y ya verás que lo consigues.

Cualquier persona que haya cursado estudios superiores de estadística, sin tener que ser «matemáticas» puras, habrá estudiado la noción del signo.

Si «a» es positivo, la función f es creciente y si no, será negativa.

Si x1 < x2, entonces ax1 < ax2 y ax1 + b < ax2 + b y f(x1) < f(x2). En este caso, – 2 es inferior a 0 y – 7 es inferior a – 3.

Por lo tanto, nuestra función f(x) = 2x – 3 es creciente. Los valores de f(x) comenzarán así de negativo a positivo cruzando el punto 0 en la ordenada – 3.

La ecuación ax + b = 0 (siendo a ≠ 0) tiene una solución única que es x = ((– b) / a). Las rectas de la ecuación y = ax + b corta el eje de abscisas en el punto de matrices ((– b/a; 0).

Como b = – 3 y a = 2, deducimos que el signo de f es positivo en el punto de coordenadas (2/3; 0).

Para estudiar la variación de f(x), tendrás que conocer la derivación matemática.

Ten en cuenta que f es derivable en todos los ℝ y que para todo x​∈​ℝ, f ‘(x) = 2x – 3 = 2. Por lo que f ‘ (x)  es positiva.

Los signos de f serán: negativos de – ∞ al punto 2/3, y positivo desde el punto 2/3 hacia +∞.

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Descubre también nuestra definición de las tablas de multiplicar...

¿Se aplican a la vida real?

Las matematicas, son tal vez la asignatura que siempre nos ha hecho preguntarnos si de verdad van a tener una aplicación a la vida real, o si todo lo que se va analizando, formula tras formula, va a ser de utilidad para resolver cosas de la vida real. No estamos hablando de cosas básicas de la primaria, es obvio que las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, nos van a ser de utilidad a lo largo de toda nuestra vida. Sin embargo, si vamos profundo, hacia el algebra, o la derivada, hablo de asignaturas que empezamos a profundizar en los grados del bachillerato, de las cuales nos vamos preguntando a medida que vamos desarrollando nuestra orientación universitaria, vamos viendo tantas aplicaciones de la matematica como algo que sobra para ese camino profesional y para llevar a cabo un trabajo en nuestras vidas futuras.

Con pretextos de tipo; si voy a ser psicólogo, ¿para qué quiero conocer los casos de factorización?, o también si me convertiré en periodista de una org, y lo mío es la comunicación social, ¿no voy a necesitar las funciones lineales o subir operaciones de litros de yo que se?, si lo mío son las lenguas, prefiero saber el o las formas de usar el the, que sea lo que sea que signifique el displaystyle. Y nos preguntamos si los pensum de los colegios deberían ser modificados a fin que esa profundización en las mates, sea limitada únicamente a personas que se interesan en carreras afines; como la ingeniería o algunas en el campo de las ciencias, o mas importante, matemática pura o aplicada. Los demás, deberían tener una orientación en mayor volumen hacia lo que van a desarrollar en su carrera, así harían la educación un tanto mas funcional, produciendo personas tambien involucradas con su vocación desde adolescentes, y menos deserciones al ver que la carrera por la que tanto esperaban, realmente no sea lo que esperaban.

Esto tiene mucho de verdad, y de hecho hay muchas instituciones, docentes y org alrededor de todo el mundo que mantienen revisando constantemente como el modelo educativo que podríamos llamar estándar dejara de ser así, hay unas instituciones que están probando esos modelos educativos y, los colegios, cada vez tratan de involucrarlo en mayor volumen en sus pensum, tratando de lograr una educación enfocada a la carrera que los estudiantes se vayan decidiendo tomar. Claro, de momento no pueden cortar la intensidad por las matematicas o las materias que mas deseas, y este modelo va a seguir así, en teoria durante muchos años. Al menos mientras en la educación se lleve una reforma de pies a cabeza.

No siendo este el caso, de momento es algo que no se puede hacer, sencillamente hay muchos motivos:

  • No es que la educación no piense en ti, pero es necesario calcular la calidad de la educación de cada uno de estos centros educativos, además de los métodos que se usan y que cada vez se van implementando con mayor continuidad en el día a día de las clases. Por esto existen los exámenes de estado (ICFES, que por cierto este año fue totalmente virtual) a nivel nacional, y el informe PISA a nivel mundial. Por lo que ni los coles ni las naciones pueden escapar del modelo estándar de la formación.
  • Esa calidad de la educación es determinante para medir los niveles de alfabetización de una comunidad. Y para tus padres, determinante a la hora de escoger el colegio en el cual vas a estudiar.
  • Representaría una reforma como decía antes, de pies a cabeza, los costes serian extremos, y la nueva realidad un tanto dura mientras nos adaptamos, seguro muchas personas se quedarían por fuera de esto, bajando como nunca los niveles de alfabetización mundial.

Hay muchas razones mas para que de momento el modificar toda la educación. De momento el consejo es encarar estas asignaturas con disciplina y entrega, piensa que tienes la oportunidad de probarte, ya que en tu carrera vas a tener que pasar por cosas que no te gustan mucho, y no por eso debes tirar la toalla, esto te ayudará a crear esa mecánica y habito de estudio. Además, no importa lo que aprendas, eso representa para tu formación algo muy positivo, y para tu cerebro, una gran ganancia y contribución en su búsqueda constante de objetivos.

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Santiago

Soy estudiante Colombiano y Superprofe ocasional. Me encanta compartir mis conocimientos y descubrir nuevas culturas.